Question

已知二次函数y=a（x+m）²+k（a≠0）的图象经过原点，当x=1时，函数y的最小值为-1．
（1）求这个二次函数的解析式，并在所给的平面直角坐标系中画出函数图象的草图；
（2）若这个二次函数图象与x轴的交点为A、B，顶点为C，试判断△ABC的形状．

Answer 1

解：（1）由题意可知m=-1，k=-1，将原点坐标代入后可得：
0=a（0-1）²-1，a=1；
因此抛物线的解析式为y=（x-1）²-1．

（2）由（1）的抛物线可知：
当y=0时，0=（x-1）²-1，解得x=0，x=2；
因此A、B的坐标分别为（0，0），（2，0）．
已知了C点的坐标为（1，-1）．
过C作CD⊥x轴于D，
在直角三角形ADC中，AD=DC，∠ADC=90°，
因此△ADC是等腰直角三角形．
∠CAD=∠ACD=45°；
同理可得∠DBC=∠BCD=45°，
因此△ABC为等腰直角三角形．
分析：（1）根据题意可知：抛物线的顶点坐标为（1，-1）；因此m=-1，k=-1．然后将原点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出抛物线的解析式．
（2）先根据抛物线的解析式求出A、B的坐标，已知了顶点C的坐标，根据三点的坐标进行判断即可．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、等腰直角三角形的判定等知识点，根据已知条件求出抛物线的解析式是解题的关键．