题目内容

如图，已知矩形ABCD，AB=
3
，BC=3，在BC上取两点E，F（E在F左边），以EF为边作等边精英家教网三角形PEF，使顶点P在AD上，PE，PF分别交AC于点G，H．
（1）求△PEF的边长；
（2）在不添加辅助线的情况下，当F与C不重合时，先直接判断△APH与△CFH是如下关系中的哪一种：然后证明你的判断．
①△APH与△CFH全等；
②△APH与△CFH相似；
③△APH与△CFH成中心对称；
④△APH与△CFH成轴对称；
（3）若△PEF的边EF在线段BC上移动．试猜想：PH与BE有何数量关系？并证明你猜想的结论．
分析：（1）△PEF的高等于矩形的长，过P作PQ⊥BC于Q，利用三角函数即可求解；
（2）根据AD∥BC即可证明两个三角形相似；
（3）根据等角对等边即可证明FC=FH，根据PH+FH=2，BE+EF+FC=3即可求解．
解答：精英家教网解：（1）过P作PQ⊥BC于Q
∵矩形ABCD∴∠B=90°，即AB⊥BC，又AD∥BC∴PQ=AB=
3

∵△PEF是等边三角形∴∠PFQ=60°在Rt△PQF中，sin60°=
3
PF
∴PF=2∴△PEF的边长为2． （4分）

（2）判断：△APH∽△CFH∵矩形ABCD∴AD∥BC∴∠2=∠1
又∵∠3=∠4，∴△APH∽△CFH （9分）

（3）猜想：PH与BE的数量关系是：PH-BE=1
证法一：在Rt△ABC中，AB=
3
，BC=3∴tan∠1=
AB
BC
=
3
3

∴∠1=30°，∵△PEF是等边三角形，∴∠2=60°，PF=EF=2，∵∠2=∠1+∠3，∴∠3=30°
∴∠1=∠3，∴FC=FH，∵PH+FH=2，BE+EF+FC=3，∴PH-BE=1
精英家教网
证法二：在Rt△ABC中，AB=
3
，BC=3，∴tan∠1=
AB
BC
=
3
3

∴∠1=30°∵△PEF是等边三角形，PE=2，∴∠2=∠4=∠5=60°，∴∠6=90°
在Rt△CEG中，∠1=30°，∴EG=
1
2
EC，即EG=
1
2
(3-BE)
在Rt△PGH中，∠7=30°，∴PG=
1
2
PH，∴PE=EG+PG=
1
2
(3-BE)+
1
2
PH=2，∴PH-BE=1
证法三：在Rt△ABC中，AB=
3
，BC=3，∴tan∠1=
AB
BC
=
3
3
，
AC2=AB2+BC2，∴∠1=30°，AC=2
3
，∵△PEF是等边三角形，∴∠4=∠5=60°
∴∠6=∠8=90°，∴△EGC∽△PGH，∴
PH
EC
=
PG
EG
，∴
PH
3-BE
=
2-EG
EG

①∵∠1=∠1，∠B=∠6=90°，∴△CEG∽△CAB，∴
EG
AB
=
EC
AC
，即
EG
3
=
3-BE
2
3
，∴EG=
1
2
(3-BE)
②把②代入①得，
PH
3-BE
=
2-
1
2
(3-BE)
1
2
(3-BE)
，∴PH-BE=1 （14分）
点评：本题主要考查了等边三角形的计算，以及相似三角形的判定与性质，等腰三角形的计算可以通过作高线转化为直角三角形的计算．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网如图，已知矩形DEFG内接于Rt△ABC，D在AB上，E、F在BC上，G在AC上，∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm，S矩形DEFG=
454
，则矩形的边长DG=
 
．
如图，已知矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点M沿AB方向从A向B以2cm/秒的速度移动，点N从D沿DA方向以1c精英家教网m/秒的速度移动，如果M、N两点同时出发，移动的时间为x秒（0≤x≤6）．
（1）当x为何值时，△MAN为等腰直角三角形？
（2）当x为何值时，有△MAN∽△ABC？
（3）爱动脑筋的小红同学在完成了以上联系后，对该问题作了深入的研究，她认为：在M、N的移动过程中（N不与D、A重合，M不与A、B重合），以A、M、C、N为顶点的四边形面积是一个常数．她的这种想法对吗？请说出理由．
如图，已知正三角形ABC的边长AB是480毫米．一质点D从点B出发，沿BA方向，以每秒钟10毫米的速度向精英家教网点A运动．
（1）建立合适的直角坐标系，用运动时间t（秒）表示点D的坐标；
（2）过点D在三角形ABC的内部作一个矩形DEFG，其中EF在BC边上，G在AC边上．在图中找出点D，使矩形DEFG是正方形（要求所表达的方式能体现出找点D的过程）；
（3）过点D、B、C作平行四边形，当t为何值时，由点C、B、D、F组成的平行四边形的面积等于三角形ADC的面积，并求此时点F的坐标．
（2012•宁德质检）如图，已知Rt△ABC，∠B=90°，AB=8，BC=6，把斜边AC平均分成n段，以每段为对角线作边与AB、BC平行的小矩形，则这些小矩形的面积和是（　　）
如图，已知矩形ABCD中AB：BC=3：1，点A、B在x轴上，直线y=mx+n（0＜m＜n＜
1
2
），过点A、C交y轴于点E，S△AOE=
9
8
S矩形ABCD，抛物线y=ax2+bx+c过点A、B，且顶点G在直线y=mx+n上，抛物线与y轴交于点F．
（1）点A的坐标为
（-3n，0）
（-3n，0）
；B的坐标
（-n，0）
（-n，0）
（用n表示）；
（2）abc=
-
4
9
-
4
9
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网