Question

已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD²＋CD²＝2AB²．

(1)求证：AB＝BC；

(2)当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)证明：连接AC． 　　∵∠ABC＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2． 　　∵CD⊥AD，∴AD2＋CD2＝AC2． 　　∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2， 　　∴AB＝BC． 　　(2)证明：过C作CF⊥BE于F． 　　∵BE⊥AD，∴四边形CDEF是矩形．∴CD＝EF． 　　∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°， 　　∴∠BAE＝∠CBF，∴△BAE≌△CBF．∴AE＝BF． 　　∴BE＝BF＋EF＝AE＋CD． 　　思路分析：(1)题目中存在直角，垂直，含线段平方的等式，因此考虑连接AC，构造直角三角形，利用勾股定理证明；(2)可采用“截长”法证明，过点C作CF⊥BE于F，易证CD＝EF，只需再证明AE＝BF即可，这一点又可通过全等三角形获证． 　　方法规律：此题主要考查推理证明能力，涉及勾股定理、全等三角形、矩形等知识．灵活添加辅助线，构造所需图形是证明关键所在．