Question

11．如图，已知AB=14，C、D是线段AB上的两个点，且满足AC：CD：DB=1：2：4，点M是线段AC的中点．
（1）若点N是线段CB的中点，求线段MN的长度；
（2）若点N是线段AB上一点，满足DN=$\frac{1}{4}$DB，求线段MN的长度．

Answer 1

分析 （1）设AC=x，则CD=2x，DB=4x．列出方程求出x，根据线段中点的性质求出MC、NC，计算即可；
（2）分点N在线段CD上、点N在线段DB上两种情况，根据题意计算即可．

解答 解：（1）设AC=x，则CD=2x，DB=4x．
∴x+2x+4x=14，
解得x=2，
∴AC=2，CD=4，DB=8，CB=12．
∵点M是线段AC的中点，
∴MC=$\frac{1}{2}$AC=1．
∵点N是线段CB的中点，
∴CN=$\frac{1}{2}$CB=6．
∴MN=MC+CN=1+6=7；
（2）∵DB=8，DN=$\frac{1}{4}$DB，
∴DN=$\frac{1}{4}$×8=2，
分以下两种情况：
①当点N在线段CD上时，MN=MC+CD-DN=1+4-2=3；
②当点N在线段DB上时，MN=MC+CD+DN=1+4+2=7．
综上所述，线段MN的长度为3或7．

点评 本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．