Question

【题目】如图，在五边形ABCDE中，已知∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC=2，AE=DE=4，在BC、DE上分别找一点M、N，若要使△AMN的周长最小时，则△AMN的最小周长为______．

Answer 1

【答案】4

【解析】分析：利用点的对称，让△AMN的三边在同一直线上，即作出A关于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出最短路线，再利用勾股定理，求出即可．

详解：作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交ED于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．

过A′作EA延长线的垂线，垂足为H，

∵AB=BC=2，AE=DE=4，

∴AA′=2BA=4，AA″=2AE=8，

则Rt△A′HA中，

∵∠EAB=120°，

∴∠HAA′=60°，

∵A′H⊥HA，

∴∠AA′H=30°，

∴AH=AA′=2，

∴A′H=，，

A″H=2+8=10，

∴A′A″=.

故答案为：.