Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连接CC′交斜边于点E，CC′的延长线交BB′于点F．
（1）证明：△AC C′∽△AB B′；
（2）设∠ABC=α，∠CAC′=β，试探索α、β满足什么关系时AC=BF，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的
∴AC=AC′AB=AB′∠CA C′=∠B AB′
∴
∴△AC C′∽△AB B′；

（2）当β=2α时，AC=BF．
理由：解：∵AC=AC′
∴∠AC C′=∠A C′C=（180°-∠C AC′）=90°-β=90°-α，
∵∠BCE=∠ACB-∠A C C′=90°-（90°-α）=α，
∴∠BCE=∠ABC，
∴BE=CE．
∵△AC C′∽△AB B′，
∵∠ACE=∠ABF．
在△AEC和△FEB中，
，
∴△AEC≌△FEB（ASA），
∴AC=BF．
分析：（1）由旋转的性质就可以得出AC=AC′AB=AB′∠CA C′=∠B AB′，再由相似三角形的判定方法直接得出结论；
（2）由（1）的结论可以得出∠ACE=∠ABF，还有∠AEC=∠BEF，只要由一边对应BE、CE相等就可以利用三角形全等得出结论，就需要β=2α，然后顺推就可以得出结论．
点评：本题考查相似三角形的判定与性质的运用，旋转的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，条件开放试题逆推的解决方法的运用．解答时得出△AEC≌△FEB是难点．