题目内容
如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连结DE。
（1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；
（2）若AD、AB的长是方程x2-10x+24=0的两个根，求直角边BC的长。
（1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；
（2）若AD、AB的长是方程x2-10x+24=0的两个根，求直角边BC的长。
| 解：（1）DE与半圆O相切， 证明： 连结OD、BD， ∵AB是半圆O的直径 ∴∠BDA=∠BDC=90°， ∵在Rt△BDC中，E是BC边上的中点， ∴DE=BE， ∴∠EBD=∠BDE， ∵OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB， 又∵∠ABC=∠OBD+∠EBD=90°， ∴∠ODB+∠EBD=90°， ∴DE与半圆O相切； |
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| （2）∵在Rt△ABC中，BD⊥AC， ∴ Rt△ABD∽Rt△ABC， ∴  ，即AB2=AD·AC，∴AC=  ，∵AD、AB的长是方程x2-10x+24=0的两个根， ∴解方程x2-10x+24=0得： x1=4，x2=6， ∵AD＜AB， ∴AD=4，AB=6， ∴AC=9， 在Rt△ABC中，AB=6，AC=9 ∴BC=  。 |
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