Question

已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交与A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交与点C（0，﹣3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交与点D．

（1）求抛物线的函数关系式．

（2）若平行于x轴的直线与抛物线交于点M、N（M点在N点左侧），且MN为直径的圆与x轴相切，求该圆的半径．

（3）若点M在第三象限，记MN与y轴的交点为点F，点C关于点F的对称点为点E．

①当线段MN=AB时，求tan∠CED的值；

②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点M的坐标．

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【专题】代数几何综合题．

【分析】（1）把点C的坐标代入函数解析式求出c，再根据对称轴求出b，即可得解；

（2）设圆的半径为r，则MN=2r，再分直线MN在x轴上方与下方两种情况表示出点N的坐标，然后代入抛物线解析式计算即可求出r；

（3）①令y=0解关于x的一元二次方程求出点A、B的坐标，从而得到AB，再求出MN的长度，根据抛物线的对称性求出点N的横坐标，再代入抛物线解析式求出点N的纵坐标，即点F的纵坐标，再根据点的对称求出点E的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求出点D的坐标，然后根据点D、E的坐标，利用锐角的正切的定义列式计算即可得解；

②根据直线BC的解析式可得∠BCO=45°，然后分∠CDE=90°时，△CDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，点F与点D的纵坐标相同，即为点M的纵坐标，然后代入抛物线解析式，计算即可得到点M的坐标；∠CED=90°时，点E与点D的纵坐标相同，根据对称性求出点F的纵坐标，即为点M的纵坐标，然后代入抛物线解析式，计算即可得到点M的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c与y轴交于点C（0，﹣3），

∴c=﹣3，

对称轴为直线x=﹣=1，

∴b=﹣2，

∴抛物线的函数关系式y=x²﹣2x﹣3；

（2）设圆的半径为r，则直径MN=2r，

①当直线MN在x轴上方时，点N的坐标为（r+1，r），

代入抛物线解析式得，（r+1）²﹣2（r+1）﹣3=r，

整理得，r²﹣r﹣4=0，

解得r₁=，r₂=（舍去）；

②当直线MN在x轴下方时，（r+1）²﹣2（r+1）﹣3=﹣r，

整理得，r²+r﹣4=0，

解得r₃=，r₄=（舍去），

所以该圆的半径为或；

（3）①令y=0，则x²﹣2x﹣3=0，

解得x₁=﹣1，x₂=3，

∴点A（﹣1，0），B（3，0），

∴AB=3﹣（﹣1）=4，

∵MN=AB，

∴MN=×4=3，

根据二次函数的对称性，点N的横坐标为1+=，

代入二次函数解析式得，y=（）²﹣2×﹣3=﹣，

∴点N的坐标为（，﹣），

点F的纵坐标为﹣，

∵点C关于点F的对称点为E，﹣×2﹣（﹣3）=﹣，

∴点E的坐标为（0，﹣），

设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），

则，

解得，

∴直线BC的解析式为y=x﹣3，

x=1时，y=1﹣3=﹣2，

∴点D的坐标为（1，﹣2），

tan∠CED==；

②∵直线BC的解析式为y=x﹣3，

∴∠BCO=45°，

若∠CDE=90°，则△CDE是等腰直角三角形，

∴点F与点D纵坐标相同，为﹣2，

∴点M的纵坐标为﹣2，

代入二次函数y=x²﹣2x﹣3得，x²﹣2x﹣3=﹣2，

整理得，x²﹣2x﹣1=0，

解得x₁=1﹣，x₂=1+，

∵点M在第三象限，

∴点M的坐标为M（1﹣，﹣2）；

若∠CED=90°，则点E与点D的纵坐标相同，为﹣2，

∵点C关于点F的对称点为E，

∴点F的纵坐标为=﹣，

∴点M的纵坐标为﹣，

代入二次函数y=x²﹣2x﹣3得，x²﹣2x﹣3=﹣，

整理得，2x²﹣4x﹣1=0，

解得x₁=1+，x₂=1﹣，

∵点M在第三象限，

∴点M的坐标为M（1﹣，﹣），

综上所述，点M的坐标为（1﹣，﹣2）或（1﹣，﹣）．

【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，直线与圆的位置关系，锐角三角函数的定义，点的对称，综合性较强，但难度不大，难点在于要分情况讨论．