Question

1．如图，矩形ABCD的面积为10cm²，它的两条对角线交于，点O₁以AB、AO₁为两邻边作平行四边形ABC₁O₁，平行四边形ABC₁O₁的对角线交于点O₂，同样以AB、AO₂为两邻边作平行四边形ABC₂O₂，…，依此类推，则平行四边形ABC_nO_n的面积为（　　）

• A． 10cm²
• B． $\frac{10}{n}$cm²
• C． $\frac{1}{2^n}$cm²
• D． $10×\frac{1}{2^n}c{m^2}$

Answer 1

分析 根据矩形的性质对角线互相平分可知O₁是AC与DB的中点，根据等底同高得到S_△ABO1=$\frac{1}{4}$S_矩形，又ABC₁O₁为平行四边形，根据平行四边形的性质对角线互相平分，得到O₁O₂=BO₂，所以S_△ABO2=$\frac{1}{8}$S_矩形，…，以此类推得到S_△ABO5=$\frac{1}{32}$S_矩形，而S_△ABO5等于平行四边形ABC₅O₅的面积的一半，根据矩形的面积即可求出平行四边形ABC₅O₅和平行四边形ABC_nO_n的面积．

解答 解：∵设平行四边形ABC₁O₁的面积为S₁，
∴S_△ABO1=$\frac{1}{2}$S₁，
又∵S_△ABO1=$\frac{1}{4}$S_矩形，
∴S₁=$\frac{1}{2}$S_矩形=5=$\frac{5}{{2}^{0}}$；
设ABC₂O₂为平行四边形为S₂，
∴S_△ABO2=$\frac{1}{2}$S₂，
又∵S_△ABO2=$\frac{1}{8}$S_矩形，
∴S₂=$\frac{1}{4}$S_矩形=$\frac{5}{2}$=$\frac{5}{{2}^{1}}$；
，…，
∴平行四边形ABC_nO_n的面积为$\frac{5}{{2}^{n-1}}$=10×$\frac{1}{{2}^{n}}$（cm²）．
故选：D．

点评 此题考查了矩形及平行四边形的性质，要求学生审清题意，找出面积之间的关系，归纳总结出一般性的结论．考查了学生观察、猜想、验证及归纳总结的能力．