题目内容

如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为1，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax²+2ax+c经过点A、C，且与x轴的另一个交点为D．
（1）求抛物线对应的函数关系式及D点坐标；
（2）点P在抛物线上，点Q在y轴上，要使以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点R，使|AR-DR|的值最大？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，请简要说明理由．

解：（1）依题意，得A（0，-1），C（1，0），
代入y=ax²+2ax+c中，得 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
所以，抛物线解析式为y= $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x-1，令y=0，得x₁=1，x₂=-3，
所以，D（-3，0）；

（2）由C（1，0），D（-3，0）得CD=4，
由于点Q在y轴上，当以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形时（如图1），
若P点横坐标为-4，代入抛物线解析式，得y= $\text{[math]}$ ×（-4）²+ $\text{[math]}$ ×（-4）-1= $\text{[math]}$ ，

若P点横坐标为4，代入抛物线解析式，得y= $\text{[math]}$ ×4²+ $\text{[math]}$ ×4-1= $\text{[math]}$ =7，
所以，所有满足条件的点P的坐标（-4， $\text{[math]}$ ），（4，7）；

（3）存在．
连接AD与抛物线对称轴交于R点，此时，|AR-DR|的值最大（如图2），
设直线AD解析式为y=kx+b，将A（0，-1），D（-3，0）代入，得：
$\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
所以，直线AD解析式为y=- $\text{[math]}$ x-1，
当x=-1时，y=- $\text{[math]}$ ，
即R点坐标为（-1，- $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）由正方形的边长为1可知，A（0，-1），C（1，0），将A、C两点坐标代入y=ax²+2ax+c中，可求抛物线解析式，令y=0，可求D点坐标；
（2）由C、D两点坐标可求线段CD长，点Q在y轴上，当以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，PQ=CD，由此可设P点横坐标，代入抛物线解析式可求P点纵坐标；
（3）存在．连接AD与抛物线对称轴交于R点，R点即为所求，根据A、D两点坐标求直线AD解析式，再把抛物线的对称轴代入，可求R点的坐标．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据题意求抛物线解析式，根据抛物线解析式求D点坐标，再表示线段CD的长，根据平行四边形的性质求P点坐标，再根据图形的性质求使
|AR-DR|的值最大时，R点坐标．