题目内容

已知：二次函数y=a（x-1）²+4的图象如图所示，抛物线交y轴于点C，交x轴于A、B两点，用A点坐标为（-1，0）．
（1）求a的值及点B的坐标．
（2）连接AC、BC，E是线段OC上的动点（不与O、C两点重合），过E点作直线PE⊥y轴交线段AC于点P，交线段BC于点Q．求证： $数学公式$ = $数学公式$ ．
（3）设E点的坐标为（0，n），在线段AB上是否存在一点R，使得以P、Q、R为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出n的值，并画出相应的示意图；若不存在，请说明理由．

（1）解：把A点坐标为（-1，0）代入y=a（x-1）²+4，得a（-1-1）²+4=0，解得a=-1，
∴y=-（x-1）²+4，
令y=0，-（x-1）²+4=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴B点坐标为（3，0）；

（2）证明：∵直线PE⊥y轴交线段AC于点P，交线段BC于点Q，
∴PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

（3）解：在线段AB上存在一点R，使得以P、Q、R为顶点的三角形与△BOC相似．理由如下
对于y=-（x-1）²+4，令x=0，y=3，
∴C点坐标为（0，3），
∴△OBC为等腰直角三角形，

设直线BC的解析式为：y=kx+b，
把B（3，0），C（0，3）代入得， $\text{[math]}$ ，
解得k=-1，b=3，
∴直线BC的解析式为：y=-x+3；
同理可得直线AC的解析式为：y=-3x+3；
∵E点的坐标为（0，n），0＜n＜3，
∴P点坐标为（ $\text{[math]}$ -1，n），Q点的坐标为（3-n，n），
∴QP=3-n-（ $\text{[math]}$ -1）=4- $\text{[math]}$ ；
若以P、Q、R为顶点的三角形与△BOC相似，
∴以P、Q、R为顶点的三角形为等腰直角三角形，
当∠PQR=90°，QR=QP，如图，
∵PQ∥AB，
∴QR⊥AB，
∴QR=OE=n，
∴n=4- $\text{[math]}$ ，
解得n= $\text{[math]}$ ，
∴R的坐标为（ $\text{[math]}$ ，0），
当∠QPR=90°，PQ=PR，同理可得n= $\text{[math]}$ ，得P点坐标为（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），则R点坐标为（- $\text{[math]}$ ，0）；
当∠PRQ=90°，RP=RQ，过R作RH⊥PQ于H，如图，
∴HR= $\text{[math]}$ PQ，
∴n= $\text{[math]}$ （4- $\text{[math]}$ ），
解得n= $\text{[math]}$ ，
∴P点的坐标为（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），Q点的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∴R点的坐标为（ $\text{[math]}$ ，0）．
所以当n= $\text{[math]}$ ，R的坐标为（ $\text{[math]}$ ，0）或（- $\text{[math]}$ ，0）；当n= $\text{[math]}$ ，R点的坐标为（ $\text{[math]}$ ，0）．
分析：（1）把A点坐标为（-1，0）代入y=a（x-1）²+4，可求得a=-1，然后令y=0，得到-（x-1）²+4=0，解方程得到x₁=-1，x₂=3，即可得到B点坐标；
（2）由直线PE⊥y轴交线段AC于点P，交线段BC于点Q，得到PQ∥AB，则△CPQ∽△CAB，即可得到结论；
（3）利用待定系数法分别求出直线BC的解析式为：y=-x+3；直线AC的解析式为：y=-3x+3；由E点的坐标为（0，n），0＜n＜3，得到P点坐标为（ $\text{[math]}$ -1，n），Q点的坐标为（3-n，n），则QP=3-n-（ $\text{[math]}$ -1）=4- $\text{[math]}$ ；若以P、Q、R为顶点的三角形与△BOC相似，则以P、Q、R为顶点的三角形为等腰直角三角形，然后分类讨论：当∠PQR=90°，QR=QP，得到n=4- $\text{[math]}$ ；当∠PRQ=90°，RP=RQ，过R作RH⊥PQ于H，根据HR= $\text{[math]}$ PQ，得到n= $\text{[math]}$ （4- $\text{[math]}$ ），分别解方程可得到n的值和对应的R点的坐标．
点评：本题考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标的方法；也考查了利用待定系数法求直线解析式、三角形相似的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．