Question

如图，抛物线₁ :y=-x²平移得到抛物线，且经过点O(0.0)和点A(4.0)，的顶点为点B，它的对称轴与相交于点C,设、与BC围成的阴影部分面积为S,解答下列问题：

（1）求表示的函数解析式及它的对称轴，顶点的坐标。

（2）求点C的坐标，并直接写出S的值。

（3）在直线AC上是否存在点P，使得S_△POA＝S？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。

【参考公式：抛物线y=ax²+bx+c 的对称轴是x＝－ ，

顶点坐标是（－ ，）】．

Answer 1

_解：（1）设l₂的函数解析式为y＝－x²＋bx＋c

_{把（4.0）代入函数解析式，得}

      解得

∴y＝－x²＋4x

∵y＝－x²＋4x＝－（x－2）²＋4

∴l₂的对称轴是直线x＝2，顶点坐标B（2，4）

（2）当x＝2时，y＝－x²＝－4

∴C点坐标是（2，－4）

S＝8

（3）存在

_{设直线AC表示的函数解析式为}y＝kx＋n

把A（4，0），C（2，－4）代入得

  解得

∴y＝2x－8

设△POA的高为h

S_△POA＝OA·h=2h=4

_{设点P的坐标为（m,2m-8).}

∵S_△POA＝S 且S＝8

∴S_△POA＝×8=4

_{当点P在轴上方时，得× 4（2m-8)=4,}

_解得m=5,

_∴2m-8=2.

_{∴P的坐标为（5.2）.}

_{当点P在轴下方时，得× 4（8-2m)=4.}

_解得m=3,

_∴2m-8=-2

_{∴点P的坐标为（3，-2）.}

_{综上所述，点P的坐标为（5，-2）或（3，-2）。}