Question

1．如图，⊙0直径为AB，过半径0A的中点G作弦CE⊥AB，在CB上取一点D，分别作直线CD、ED，交直线AB于F、M．
（1）求∠C0A和△FDM的度数；
（2）求证：△FOC∽△C0M．

Answer 1

分析 （1）由于CG⊥OA，根据垂径定理可得出，弧CA=弧AE，那么根据圆周角定理可得出∠CDE=∠COA，在Rt△COG中，可根据OG是半径的一半得出∠AOC是60°，那么就能得出∠FDM=180°-∠CDE=120°
（2）在（1）中我们根据垂径定理得出OA是CE的垂直平分线，那么△CMG和△EMG全等，可得出∠CMA=∠EMG，也就可得出∠CMO=∠FMD，根据三角形的内角和得到∠OCM=∠F，因此两三角形就相似．

解答 （1）解：∵AB为直径，CE⊥AB，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{AE}$，CG=EG，
在Rt△COG中，
∵OC=OA，OG=$\frac{1}{2}$OA，
∵OG=$\frac{1}{2}$OC，
∴∠OCG=30°，
∴∠COA=60°，
又∵∠CDE的度数=$\frac{1}{2}$$\widehat{CAE}$的度数=$\widehat{AC}$的度数=∠COA的度数=60°，
∴∠FDM=180°-∠CDE=120°；

（2）证明：在Rt△CGM和Rt△EGM中，
$\left\{\begin{array}{l}{GM=GM}\\{∠CGM=∠EGM}\\{CG=EG}\end{array}\right.$，
∴Rt△CGM≌Rt△EGM（SAS），
∴∠GMC=∠GME
又∵∠DMF=∠GME，
∴∠CMO=∠DMF，
∵∠COM=∠MDF=120°，
∴∠OCM=∠F，
∵∠COM=∠COF，
∴△FCO∽△COM．

点评 本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，全等三角形和相似三角形的判定及性质等知识点，根据垂径定理得出角相等是解题的关键．