Question

如图，已知AC是⊙O的直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B．
（1）如图1，若∠BAC=25°，求∠AMB的大小；
（2）如图2，过点B作BD⊥AC，交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD，若BD=AM=2．
①求∠AMB的大小；
②图中阴影部分的面积为______．

Answer 1

解：（1）∵MA切⊙O于点A，
∴CA⊥AM，
∴∠MAC=90°，
∵∠BAC=25°，
∴∠MAB=90°-25°=65°，
∵MA，MB分别切⊙O于点A，B，
∴MA=MB，
∴∠MAB=∠MBA=65°，
∴∠AMB=180°-（∠MAB+∠MBA）=50°；

（2）①∵MA⊥AC，BD⊥AC，
∴MA∥BD，
∵MA=BD，
∴四边形MADB是平行四边形，
∵MA=MB，
∴?MADB是菱形，
∵AC是⊙O的直径，BD⊥AC，
∴BE=DE，
在Rt△AED中，cos∠ADE==，
∴∠ADE=60°，
在菱形MADB中，∠AMB=∠ADE=60°；
②连接OD，
∵∠ADE=60°，AE⊥BD，
∴∠DAE=30°，
∴∠EOD=60°，
∴∠AOD=120°，
∵DE=BD=，AD=BD=2，
∴AE==3，OD==2，
∴S_阴影=S_扇形AOD-S_△AOD=-×2×=π-．
故答案为：π-．
分析：（1）由MA，MB分别切⊙O于点A，B，易得MA=MB，∠MAC=90°，继而求得∠MAB=∠MBA=65°，则可求得∠AMB的大小；
（2）①易证得四边形MADB是菱形，然后由特殊角的三角函数值，求得∠D的度数，继而求得∠AMB的大小；
②首先连接OD，求得∠AOD的度数，OA的长，继而求得答案．
点评：此题考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理、垂径定理、菱形的判定与性质以及特殊角的三角函数问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．