Question

如图，已知AC是⊙O的直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B．
（1）如图1，若∠BAC=25°，求∠AMB的大小；
（2）如图2，过点B作BD⊥AC，交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD，若BD=AM=2

3

．
①求∠AMB的大小；
②图中阴影部分的面积为

4

3

π-

3

．

Answer 1

分析：（1）由MA，MB分别切⊙O于点A，B，易得MA=MB，∠MAC=90°，继而求得∠MAB=∠MBA=65°，则可求得∠AMB的大小；
（2）①易证得四边形MADB是菱形，然后由特殊角的三角函数值，求得∠D的度数，继而求得∠AMB的大小；
②首先连接OD，求得∠AOD的度数，OA的长，继而求得答案．

解答：解：（1）∵MA切⊙O于点A，
∴CA⊥AM，
∴∠MAC=90°，
∵∠BAC=25°，
∴∠MAB=90°-25°=65°，
∵MA，MB分别切⊙O于点A，B，
∴MA=MB，
∴∠MAB=∠MBA=65°，
∴∠AMB=180°-（∠MAB+∠MBA）=50°；

（2）①∵MA⊥AC，BD⊥AC，
∴MA∥BD，
∵MA=BD，
∴四边形MADB是平行四边形，
∵MA=MB，
∴?MADB是菱形，
∵AC是⊙O的直径，BD⊥AC，
∴BE=DE，
在Rt△AED中，cos∠ADE=

DE

AD

=

1

2

，
∴∠ADE=60°，
在菱形MADB中，∠AMB=∠ADE=60°；
②连接OD，
∵∠ADE=60°，AE⊥BD，
∴∠DAE=30°，
∴∠EOD=60°，
∴∠AOD=120°，
∵DE=

1

2

BD=

3

，AD=BD=2

3

，
∴AE=

AD2-DE2

=3，OD=

DE

sin60°

=2，
∴S_阴影=S_扇形AOD-S_△AOD=

120π×22

360

-

1

2

×2×

3

=

4

3

π-

3

．
故答案为：

4

3

π-

3

．

点评：此题考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理、垂径定理、菱形的判定与性质以及特殊角的三角函数问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．