Question

如图，在矩形ABCD中，E，F为AD，BC上的点，且ED=BF，连接EF交对角线BD于点O，连接CE，交BD于G点，且CE=CF，∠EFC=2∠DBC．
（1）求证：FO=EO．
（2）若CD=2

3

，求BC的长．

Answer 1

考点：矩形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）先证明△OED≌△OFB，即可得出FO=EO；
（2）连接CO，得BO=CO，CE=CF，易得CO垂直EF，△COF为直角三角形，∠DBC=∠OCB，又∠EFC=2∠DBC=2∠OCB，且∠EFC+∠OCB=90°，
∠DBC=30°，BC长6．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO=∠FBO，
在△OED和△OFB中，

∠EOD=∠FOB ∠EDO=∠FBO ED=FB

，
∴△OED≌△OFB（AAS），
∴FO=EO；
即可得出FO=EO；

（2）连接OC，
∵△OED≌△OFB，
∴OB=OD，
∴BO=CO，
∵CE=CF，
∴CO⊥EF，
∴△COF为直角三角形，
∴∠DBC=∠OCB，
∵∠EFC=2∠DBC=2∠OCB，且∠EFC+∠OCB=90°，
∴∠DBC=30°，
∴tan30°=

CD

BC

，
∵CD=2

3

，
∴BC=6．

点评：本题考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定以及三角函数的应用，注意各知识点之间的综合．