题目内容

古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，
而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从下图可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．若把第一个三角形数记为a₁，第二个三角形数记为a₂，…，第n个三角形数记为a_n，计算a₂-a₁，a₃-a₂，a₄-a₃，…由此推算，a₁₀₀-a₉₉=，a₁₀₀=．

100 5050
分析：本题先根据已知条件，得出自然数是1，2，3，4，5，6，7，…，三角数是1，3，6，10，15，21，28，…，再从中找出规律为：第几个三角数就是它的位置之前的自然数和本身之和，即可找出结果．
解答：根据题意得：
自然数是1，2，3，4，5，6，7，…，
三角形数1，3，6，10，15，21，28，…， $\text{[math]}$ ，
第几个三角数就是它的位置之前的自然数和本身之和，
正方形数1，4，9，16，25，36，49，…，n²，
则a₁₀₀-a₉₉= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =5050-4950=100；a₁₀₀=5050．
故答案为：100；5050
点评：此题考查了规律型：数字的变化类，以及图形的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．

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18、古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 …这样的数称为“三角形数”，而把1、4、16┅这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．
请再写出一个符合这一规律的等式：

25=10+15（答案不唯一）

（2013•澄海区模拟）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 …，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…，这样的数称为“正方形数”．
（1）第5个三角形数是

，第n个“三角形数”是

，第5个“正方形数”是

，第n个正方形数是

；
（2）经探究我们发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．
例如：①4=1+3，②9=3+6，③16=6+10，④

，…．
请写出上面第4个和第5个等式；
（3）在（2）中，请探究第n个等式，并证明你的结论．

古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“三角形数”（如图①），而把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”（如图②）．如果规定a₁=1，a₂=3，a₃=6，a₄=10，…；b₁=1，b₂=4，b₃=9，b₄=16，…；y₁=2a₁+b₁，y₂=2a₂+b₂，y₃=2a₃+b₃，y₄=2a₄+b₄，…，那么，按此规定，y₆=

（用含n的式子表示，n为正整数）．

古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“三角数”；把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以写成两个相邻的“三角形数”之和，“正方形数”36可以写成两个相邻的“三角形数”

之和；“正方形数”n²可以写成两个相邻的“三角形数”

之和，其中n为大于1的正整数．

古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）下图反映了任何一个三角形数是如何得到的，认真观察，并在④后面的横线上写出相应的等式；

；
（2）通过猜想，写出（1）中与第九个点阵相对应的等式

；
（3）从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．结合（1）观察下列点阵图，并在⑤看面的黄线上写出相应的等式．

①1=1²
②1+3=2²
③3+6=3²
④6+10=4²
⑤

；
（4）通过猜想，写出（3）中与第n个点阵相对应的等式

；
（5）判断225是不是正方形数，如果不是，说明理由；如果是，225可以看作哪两个相邻的“三角形数”之和？