Question

古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）下图反映了任何一个三角形数是如何得到的，认真观察，并在④后面的横线上写出相应的等式；

①1=1
②1+2=

(1+2)×2

2

=3
③1+2+3=

(1+3)×3

2

=6
④

1+2+3+4=

(1+4)×4

2

；
（2）通过猜想，写出（1）中与第九个点阵相对应的等式

1+2+3+…+9=

(1+9)×9

2

；
（3）从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．结合（1）观察下列点阵图，并在⑤看面的黄线上写出相应的等式．

①1=1²
②1+3=2²
③3+6=3²
④6+10=4²
⑤

10+15=5²

；
（4）通过猜想，写出（3）中与第n个点阵相对应的等式

(1+n-1)(n-1)

2

+

(1+n)×n

2

=n²

；
（5）判断225是不是正方形数，如果不是，说明理由；如果是，225可以看作哪两个相邻的“三角形数”之和？

Answer 1

分析：（1）根据计算方法写出即可；
（2）根据求解规律，用点阵的序数乘比序数大1的数，再除以2即可；
（3）根据（1）中三角形数的规律写出即可；
（4）用第（n-1）个三角形数加上第n个三角形数，整理即可得解；
（5）把225代入第n个点阵的表达式，计算即可得解．

解答：解：（1）④1+2+3+4=

(1+4)×4

2

；

（2）第九个点阵相应的等式：1+2+3+…+9=

(1+9)×9

2

；

（3）⑤10+15=5²；

（4）第n个点阵相对应的等式：

(1+n-1)(n-1)

2

+

(1+n)×n

2

=n²；

（5）∵225=15²，
∴225是正方形数，
可以看作是14、15两个相邻的三角形数的和．
故答案为：（1）1+2+3+4=

(1+4)×4

2

；（2）1+2+3+…+9=

(1+9)×9

2

；（3）10+15=5²；（4）

(1+n-1)(n-1)

2

+

(1+n)×n

2

=n²．

点评：本题是对数字变化规律的考查，对图形变化规律的考查，仔细观察图形以及三角形数的定义和求解方法，理解题目信息是解题的关键．