Question

古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“三角数”；把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以写成两个相邻的“三角形数”之和，“正方形数”36可以写成两个相邻的“三角形数”

15

与

21

之和；“正方形数”n²可以写成两个相邻的“三角形数”

n(n-1)

2

与

n(n+1)

2

之和，其中n为大于1的正整数．

Answer 1

分析：观察图象中点的个数的规律有4=2²=1+2+1，9=3²=1+2+3+2+1，16=4²=1+2+3+4+3+2+1，则按照此规律得到36=6²=（1+2+3+4+5）+（6+5+4+3+3+2+1），n²=1+2+3+4+…+（n-1）+n+（n-1）+（n-2）+…+1=[1+2+3+4+…+（n-1）]+[n+（n-1）+（n-2）+…+1，然后求和即可．

解答：解：∵4=2²=1+2+1，
9=3²=1+2+3+2+1，
16=4²=1+2+3+4+3+2+1，
∴36=6²=1+2+3+4+5+6+5+4+3+3+2+1=15+21；
n²=1+2+3+4+…+（n-1）+n+（n-1）+（n-2）+…+1
=[1+2+3+4+…+（n-1）]+[n+（n-1）+（n-2）+…+1]
=

n(n-1)

2

+

n(n+1)

2

．
故答案为：15，21；

n(n-1)

2

，

n(n+1)

2

．

点评：本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．