题目内容

已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且AB=40cm，AD=BC=20cm，∠ABC=120°．点P从点B出发以1cm/s的速度沿着射线BC运动，点Q从点C出发以2cm/s的速度沿着线段CD运动，当点Q运动到点D时，所有运动都停止．设运动时间为t秒．
（1）如图1，当点P在线段BC上且△CPQ∽△DAQ时，求t的值；
（2）在运动过程中，设△APQ与梯形ABCD重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

解：（1）如图1，分别过点A，B作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，
∵BC=20，∠C=180°-∠ABC=60°，
∴CN=10=DM，BN= $\text{[math]}$ ，
∴CD=60．
∵△CPQ∽△DAQ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴t₁=10，t₂=60（不合题意），
∴t=10．

（2）当点P在线段BC上时，如图2，过P作FG⊥CD于G，交AB延长线于F．
∴PF= $\text{[math]}$ ，PG= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
S=S_梯形ABCD-S_△ADQ-S_△CPQ-S_△ABP=500 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．（0＜t≤20）

当点P在线段BC的延长线上时，如图3，
过P作PH⊥AB于H，则
设AP与CD交于点E，
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
∴QE=CQ-CE= $\text{[math]}$ ．
∴y= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．（20＜t≤30）．
分析：（1）根据相似三角形的性质列出等量关系，求出t的值；
（2）当点P在线段BC上时，S=S_梯形ABCD-S_△ADQ-S_△CPQ-S_△ABP，求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当点P在线段BC的延长线上时，S=S_△AQE，求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
点评：本题考查相似三角形的判定和性质，有关梯形、三角形面积的相关知识解决函数问题．