Question

如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=1，∠A=90°，点E为腰AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面积．

Answer 1

分析：过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D，构成直角三角形可证出Rt△ABE∽Rt△CED，然后证出其面积；或作FH⊥CE于H，设FH=h，Rt△EHF∽Rt△BAE，然后求出其面积．

解答：解法1：如图，过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D．（2分）
因为∠ABE+∠AEB=90°，∠CED+∠AEB=90°，所以∠ABE=∠CED．
于是Rt△ABE∽Rt△CED，（4分）
所以

S△CDE

S△EAB

=(

CE

AB

)2=

1

4

， 

CE

CD

=

AB

AE

=2．（（6分））
又∠ECF=∠DCF=45°，所以CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等，
所以

S△CEF

S△CDF

=

CE

CD

=2．（8分）
所以S△CEF=

2

3

S△CDE=

2

3

×

1

4

S△ABE=

2

3

×

1

4

×

1

2

S△ABC=

1

24

．（10分）


解法2：如图，作FH⊥CE于H，设FH=h．（2分）因为∠ABE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，所以∠ABE=∠FEH，
于是Rt△EHF∽Rt△BAE．（4分）
因为

EH

FH

=

AB

AE

. 即EH=2h，所以HC=

1

2

-2h．
又因为HC=FH，所以h=

1

2

-2h ， h=

1

6

，（8分）
所以S△CEF=

1

2

EC×FH=

1

2

×

1

2

×

1

6

=

1

24

．（10分）

点评：本题的关键是作出辅助线，然后构成直角三角形，用相似三角形的性质求面积．