Question

【题目】如图1所示，以点M(1，0)为圆心的圆与y轴，x轴分别交于点A，B，C，D，与⊙M相切于点H的直线EF交x轴于点E（，0），交y轴于点F（0，）．

(1)求⊙M的半径r；

(2)如图2所示，连接CH，弦HQ交x轴于点P，若cos∠QHC=，求的值；

(3)如图3所示，点P为⊙M上的一个动点，连接PE，PF，求PF+PE的最小值．

Answer 1

【答案】（1）r=2；（2）=；（3）．

【解析】

（1）连接MH，根据点E（，0）和点F（0，），求出的值，再通过证明△EMH∽△EFO，得到，即可解出r的值；

（2）连接DQ、CQ，由cos∠QDC =cos∠QHC =，可得，由（1）可知，r=2，故CD=4，由DQ=3，CH是RT△EHM斜边上的中线，得到CH=EM=2．再通过证明△CHP∽△QDP，即可得到；

（3）取CM的中点N，连接PM、PN，由OM=1，OE=5，可得ME=4，进而得到，

通过证明△PMN∽△EMP，可得，即，所以当F、P、N三点共线时，PF+PE的最小值为FN的长，根据勾股定理可求的PF+PE的最小值.

（1）如图，连接MH，

∵点E（，0）和点F（0，），

∴OE=5，OF=，

∴，

∵M（-1，0），

∴OM=1，

∴EM=OE-OM=4，

∵∠E=∠E，∠AOE=∠EHM，

∴△EMH∽△EFO，

∴，

即，

∴r=2；

(2) 如图，连接DQ、CQ.

∵CD为直径，∴∠CQD=90°，

∵∠QHC=∠QDC，

∴cos∠QDC =cos∠QHC =，

∴，

由（1）可知，r=2，故CD=4，

∴DQ=3，

∵CH是RT△EHM斜边上的中线，
∴CH=EM=2．

∵∠CHP=∠QDP，∠CPH=∠QPD，

∴△CHP∽△QDP，

∴；

（3）如图，取CM的中点N，连接PM、PN，

∵OM=1，OE=5，

∴ME=4，

∴，

又∵∠PMN=∠EMP，

∴△PMN∽△EMP，

∴，

∴，

当F、P、N三点共线时，PF+PE的最小值为FN的长，

∴点N为CM的中点，

∴ON=2，

∴，

∴PF+PE的最小值为.