Question

【题目】已知抛物线经过点，点，直线，直线，直线经过抛物线的顶点，且与相交于点，直线与轴、轴分别交于点、，若把抛物线上下平移，使抛物线的顶点在直线上（此时抛物线的顶点记为），再把抛物线左右平移，使抛物线的顶点在直线上（此时抛物线的顶点记为）．

（1）求抛物线的解析式．

（2）判断以点为圆心，半径长为4的圆与直线的位置关系，并说明理由．

（3）设点、在直线上（点在点的下方），当与相似时，求、的坐标（直接写出结果）．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）相离，理由详见解析；（3）、或、或、

【解析】

（1）将点A、B的坐标代入即可求出解析式；

（2）求出点N、C的坐标，计算NC的长度即可求解；

（3）分点F在直线下方，上方两种情况求解.

（1）将点A、B的坐标代入，得，

解得： ，

∴抛物线的解析式为；

（2）∵，

∴顶点坐标是（2,2），

将点P的坐标代入直线中，得2k=2，即k=1，

∴直线的解析式是y=x，

设点M（2，m），代入直线的解析式中，得m=-4，

∴点M的坐标是（2，-4），

设点N的坐标是（n，-4），代入的解析式中，得n=-4，

∴点N的坐标是（-4，-4），

同理：D（-2,0），E（0，-2），

联立、得，得，

∴C（-1，-1），

∴OC=，

∴,

∵点C在直线y=x上，

∴∠COE=∠OEC=45°，

∴∠OCE=90°，即NC⊥,

∵NC=

∴以点为圆心，半径长为4的圆与直线相离；

（3）①当点F在直线下方时，

设，

∵点A、B的坐标分别为（0,6），（1,3），

∴AO=6，AB=BO=,

过点B作BL⊥y轴于L，则，，

∴OK=,

∴,

∵等腰△MHF和等腰△OAB相似，

∴∠HFM=∠ABO，则∠KBO=∠OFM=，

∵C(-1，-1)，M(2，-4)，

∴,， ，

∴,

∴F(-5，-5)，

∵FH=FM=，OH=OF+FH=,

∴H(-10，-10)；

②当点F在直线上方时，

同理可得点F的坐标为（8,8），点H的坐标为（3,3）或（-10,-10）；

综上，、或、或、