题目内容
如图，△ABC是直角三角形，∠ACB =90°，CD⊥AB与点D，点E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F．
(1)求证：FD2= FB·FC；
(2)若G是BC的中点，连接GD与EF垂直吗？并说明理由．
(1)求证：FD2= FB·FC；
(2)若G是BC的中点，连接GD与EF垂直吗？并说明理由．
证明：(1)∵E是Rt△ACD斜边中点，
∴DE=AE，
∴∠A=∠AED，
∴∠1=∠AED，∠FBD=∠ACB+∠A=90°+ ∠BDF，
∠FBD=∠ACB+ ∠A =90°+ ∠A，
∴∠FDC= ∠FBD，
∴∠F是公共角，
∴△FBD∽△FDC，
∴
；
(2) GD⊥EF，理由如下
∵DG是Rt△CDB斜边上的中线，
∴DC=GC，
∴∠CDG=∠GCD，
由(1)得∠GCD =∠BDF，∠CDC= ∠BDF
∴∠CDC+∠GDB=90°，
∴ ∠CDB+ ∠BDF =90°，
∴DG⊥EF．
∴DE=AE，
∴∠A=∠AED，
∴∠1=∠AED，∠FBD=∠ACB+∠A=90°+ ∠BDF，
∠FBD=∠ACB+ ∠A =90°+ ∠A，
∴∠FDC= ∠FBD，
∴∠F是公共角，
∴△FBD∽△FDC，
∴
；(2) GD⊥EF，理由如下
∵DG是Rt△CDB斜边上的中线，
∴DC=GC，
∴∠CDG=∠GCD，
由(1)得∠GCD =∠BDF，∠CDC= ∠BDF
∴∠CDC+∠GDB=90°，
∴ ∠CDB+ ∠BDF =90°，
∴DG⊥EF．
练习册系列答案
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