Question

3．四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB=10公里，BC=20公里，在新农村建设中，要设立两个车站E，F则EA+EB+EF+FC+FD的最小值为18$\sqrt{5}$公里．

Answer 1

分析 连接BD，分别过A、C作BD的垂线，此时BE、EF、FD共线，且AE、CF到对角线的距离最短，所以此时，EA+EB+EF+FC+FD是最小值，利用相似分别求出BF、FC的长，同理再求AE、BE的长，或利用相等证明也可以，相加即可得出结论．

解答 解：连接BD，分别过A、C作BD的垂线，垂足分别为E、F，
此时EA+EB+EF+FC+FD为最小值，
则∠AED=∠BFC=90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BCD=90°，CD=AB=10，
由勾股定理得：BD=$\sqrt{2{0}^{2}+1{0}^{2}}$=10$\sqrt{5}$，
∵∠DBC=∠DBC，∠BFC=∠BCD=90°，
∴△BFC∽△BCD，
∴$\frac{BC}{BD}=\frac{FC}{CD}=\frac{BF}{BC}$，
∴$\frac{20}{10\sqrt{5}}$=$\frac{FC}{10}=\frac{BF}{20}$，
∴FC=4$\sqrt{5}$，BF=8$\sqrt{5}$，
同理得：AE=4$\sqrt{5}$，
∴BE=FD=2$\sqrt{5}$，
∴EA+EB+EF+FC+FD=4$\sqrt{5}$+10$\sqrt{5}$+4$\sqrt{5}$=18$\sqrt{5}$，
则EA+EB+EF+FC+FD的最小值是18$\sqrt{5}$．
故答案为：18$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了矩形的性质和最短路径问题，确定最小值时点E和F的位置是本题的关键，利用相似或全等、勾股定理求其边长，从而得出结论．