Question

如图，已知E是?ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．

(1)求证：△ABE≌△FCE．

(2)连接AC、BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)由ABCD为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到AB与DC平行，根据两直线平行内错角相等得到一对角相等，由E为BC的中点，得到两条线段相等，再由对应角相等，利用ASA可得出三角形ABE与三角形FCE全等； 　　(2)由△ABE与△FCE全等，根据全等三角形的对应边相等得到AB＝CF；再由AB与CF平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ABFC为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分得到AE＝EF，BE＝EC；再由∠AEC为三角形ABE的外角，利用外角的性质得到∠AEB等于∠ABE＋∠EAB，再由∠AEC＝2∠ABC，得到∠ABE＝∠EAB，利用等角对等边可得出AE＝BE，可得出AF＝BC，利用对角线相等的平行四边形为矩形可得出ABFC为矩形． 　　解答：证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形， 　　∴AB∥DC， 　　∴∠ABE＝∠ECF， 　　又∵E为BC的中点， 　　∴BE＝CE， 　　在△ABE和△FCE中， 　　∵， 　　∴△ABE≌△FCE(ASA)； 　　(2)∵△ABE≌△FCE， 　　∴AB＝CF，又AB∥CF， 　　∴四边形ABFC为平行四边形， 　　∴BE＝EC，AE＝EF， 　　又∵∠AEC＝2∠ABC，且∠AEC为△ABE的外角， 　　∴∠AEC＝∠ABC＋∠EAB， 　　∴∠ABC＝∠EAB， 　　∴AE＝BE， 　　∴AE＋EF＝BE＋EC，即AF＝BC， 　　则四边形ABFC为矩形． 　　点评：此题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．

提示：

考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．