Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=60°，BC=24，点P是BC边上的动点（点P与点B、C不重合），过动点P作PD∥BA交AC于点D。 （1）若△ABC与△DPA相似，则∠APD是多少度？ （2）试问：当PC等于多少时，△APD的面积最大？最大面积是多少？ （3）若以线段AC为直径的圆和以线段BP为直径的圆相外切，求线段BP的长。

参考公式：函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，n≠0）图象的顶点坐标是：

Answer 1

解：（1）∵∠B=90°-60°=30°， 当△ABC与△DPA相似时，∠APD=30°或60°。
（2）由题中条件知， 设CP=x， ∴x，，  当x=12时，△APD面积最大，其最大值是；
（3）如图，不妨设BP=2x，则以BP为直径的⊙O的半径为x， 以AC为直径的⊙O1的半径为，即为6，连接⊙O1，则OO1=x+6， 过点O1作O1M ⊥BC于M， 在Rt△O1MC中，∠C=60°， ∴MC=3， ∵BC=24， ∴OM=BC-BO-MC=21-x， 在Rt△O1OM中，， O1O=x+6，OM=21-x， 由OM2+O1M2=OO12， 即， 解得x=8， 故BP的长为16。