Question

如图，点A是⊙O上一点，OA⊥AB，且OA=1，AB=，OB交⊙O于点D，作AC⊥OB，垂足为M，并交⊙O于点C，连接BC．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）过点B作BP⊥OB，交OA的延长线于点P，连接PD，求sin∠BPD的值．

Answer 1

（1）证明：连结OC，如图，

∵AC⊥OB，

∴AM=CM，

∴OB为线段AC的垂直平分线，

∴BA=BC，

在△OAB和△OCB中

，

∴△OAB≌△OCB，

∴∠OAB=∠OCB，

∵OA⊥AB，

∴∠OAB=90°，

∴∠OCB=90°，

∴OC⊥BC，

∴BC是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△OAB中，OA=1，AB=，

∴OB==2，

∴∠ABO=30°，∠AOB=60°，

∵PB⊥OB，

∴∠PBO=90°，

在Rt△PBO中，OB=2，∠BPO=30°，

∴PB=OB=2，

在Rt△PBD中，BD=OB﹣OD=2﹣1=1，PB=2，

∴PD==，

∴sin∠BPD===．