题目内容
如图①，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=10，∠C=60°．
（1）求AD的长；
（2）若动点P从点C出发沿CD方向向终点D运动（如图②），在P点运动的过程中，△ABP的面积变了吗？若改变，请说明理由；若没有改变，那么△ABP的面积为
（3）在（2）的条件下，若动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，过点Q作QM∥CD交BC于M（如图③），探究：四边形PDQM可能为菱形吗？若可能，请求出BM的长；若不可能，请说明理由．
（1）求AD的长；
（2）若动点P从点C出发沿CD方向向终点D运动（如图②），在P点运动的过程中，△ABP的面积变了吗？若改变，请说明理由；若没有改变，那么△ABP的面积为
6
| 3 |
6
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（3）在（2）的条件下，若动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，过点Q作QM∥CD交BC于M（如图③），探究：四边形PDQM可能为菱形吗？若可能，请求出BM的长；若不可能，请说明理由．
分析：（1）过点A作AE∥BC交CD于E，可得四边形ABCE是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得CE=AB，AE=BC，然后求出AD=AE，DE的长，再判断出△ADE是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等解答即可；
（2）根据等边三角形的性质求出点A到CD的距离，然后根据平行线间的距离相等可得点P到AB的距离，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
（3）根据等腰梯形同一底上的两底角相等可得∠D=60°，再根据菱形的对边平行MP∥DQ，利用两直线平行，同位角相等可得∠CPM=∠D=60°，然后判断出△CPM是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得CP=MP=CM，再根据菱形的四条边都相等可得MP=PD，从而得到CP=PD，求出CP，再根据BM=BC-CM代入数据进行计算即可得解．
（2）根据等边三角形的性质求出点A到CD的距离，然后根据平行线间的距离相等可得点P到AB的距离，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
（3）根据等腰梯形同一底上的两底角相等可得∠D=60°，再根据菱形的对边平行MP∥DQ，利用两直线平行，同位角相等可得∠CPM=∠D=60°，然后判断出△CPM是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得CP=MP=CM，再根据菱形的四条边都相等可得MP=PD，从而得到CP=PD，求出CP，再根据BM=BC-CM代入数据进行计算即可得解．
解答：
解：（1）如图，过点A作AE∥BC交CD于E，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∴CE=AB=4，AE=BC，
∴DE=CD-CE=10-4=6，
∵AD=BC（等腰梯形），
∴AD=AE，
又∵∠C=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=DE=6；
（2）根据等边三角形的性质，点A到CD的距离为
DE=
×6=3
，
∵AB∥CD，
∴点P到AB的距离为3
，
∴△ABP底边AB和AB边上的高不变，面积是定值，不变，
△ABP的面积=
AB•3
=
×4×3
=6
；
（3）在等腰梯形ABCD中，∠D=∠C=60°，
∵MP∥DQ（菱形的对边平行），
∴∠CPM=∠D=60°，
∴△CPM是等边三角形，
∴CP=MP=CM，
在菱形PDQM中，MP=PD，
∴CP=PD，
∴CP=
CD=
×10=5，
又∵BC=AD=6，
∴BM=BC-CM=6-5=1，
故，四边形PDQM可以为菱形，此时BM=1．
故答案为：6
．
解：（1）如图，过点A作AE∥BC交CD于E，∵AB∥CD，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∴CE=AB=4，AE=BC，
∴DE=CD-CE=10-4=6，
∵AD=BC（等腰梯形），
∴AD=AE，
又∵∠C=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=DE=6；
（2）根据等边三角形的性质，点A到CD的距离为
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
∵AB∥CD，
∴点P到AB的距离为3
| 3 |
∴△ABP底边AB和AB边上的高不变，面积是定值，不变，
△ABP的面积=
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| 2 |
| 3 |
| 3 |
（3）在等腰梯形ABCD中，∠D=∠C=60°，
∵MP∥DQ（菱形的对边平行），
∴∠CPM=∠D=60°，
∴△CPM是等边三角形，
∴CP=MP=CM，
在菱形PDQM中，MP=PD，
∴CP=PD，
∴CP=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
又∵BC=AD=6，
∴BM=BC-CM=6-5=1，
故，四边形PDQM可以为菱形，此时BM=1．
故答案为：6
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点评：本题是四边形综合题型，主要涉及等腰梯形的性质，梯形的问题难点在于作出合适的辅助线，等边三角形的判定与性质，菱形的四条边都相等的性质，以及等底等高的三角形的面积相等，综合题，但难度不是很大．
练习册系列答案
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