Question

如图（1），在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，-2），点B的坐标为（3，-1），二次函数y=-x²的图象为l₁．

（1）沿y轴向下平移抛物线l₁，使平移后的抛物线过点A，写出平移后的抛物线的解析式；
（2）平移抛物线l₁，使平移后的抛物线过A、B两点，记抛物线为l₂，如图（2），求抛物线l₂的函数解析式及顶点C的坐标；
（3）抛物线l₂上是否存在点Q，使△QAB为等腰三角形？若存在，请在图（2）中画出来，并简要说明画法；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先设出抛物线l₁的解析式（“上加下减”），然后将A点坐标代入抛物线l₁的解析式中，即可求出平移的距离，从而确定抛物线l₁的解析式．
（2）先根据抛物线l₁的解析式和“左加右减”的平移规律设出抛物线l₂的解析式，然后将A、B两点坐标代入求解即可得到抛物线1₂的解析式，然后将其化为顶点坐标式，进而可求得C点坐标．
（3）此题应分三种情况：
①AB=BQ，那么以B为圆心，BA为半径作圆，此圆与抛物线的交点即为所求的Q点；
②AB=AQ，同①，可以A为圆心，BA为半径作圆，此圆与抛物线的交点即为所求的另一个Q点；
③AQ=BQ，此时Q点为线段AB的垂直平分线与抛物线的交点．

解答：解：（1）设抛物线l₁的解析式为：y=-x²-h，
由题意知：-1-h=-2，h=1；
∴抛物线l₁：y=-x²-1．

（2）设l₂的解析式为y=-x²+bx+c，
联立方程组，

-2=-1+b+c -1=-9+3b+c

，
解得b=

9

2

，c=-

11

2

，
则，l₂的解析式为y=-x2+

9

2

x-

11

2

．
点C的坐标为（

9

4

，-

7

16

）．

（3）若AB为等腰三角形的腰，则分别以A、B为圆心，以AB长为半径画圆，交抛物线分别于Q₁，Q₂；
若AB为等腰三角形的底边，则作AB的垂直平分线，交抛物线分别于Q₃，Q₄，则Q₁、Q₂、Q₃、Q₄为所求的可能的位置．

点评：此题主要考查了二次函数图象的平移以及解析式的确定，并熟练掌握等腰三角形的构成情况，需要识记的是二次函数图象的平移规律，即：“上加下减、左加右减”．