Question

在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在边AB上，DE⊥AB，点E在边BC，点F在边AC上，且∠DEF=∠B．

（1）求证：△FCE∽△EBD；

（2）当点D在线段AB上运动时，是否有可能使S_△FCE=4S_△EBD？如果有可能，那么求出BD的长；如果不可能，请说明理由．

Answer 1

【考点】相似三角形的判定与性质．

【分析】（1）由AB=AC，DE⊥AB，得到∠B=∠C，∠BDE=90°，由∠B=∠DEF，证得∠BDE=∠FEC=90°，于是可证得结论．

（2）作AG⊥BC，根据等腰三角形的性质得到BG=3，根据△FCE∽△EBD，得到，由△BDE∽△BGA，得到，设BD=x，CE=2x，求得BD=，，根据△ECF∽△GCA，由相似三角形的性质得到，即可得到结论．

【解答】证明：（1）∵AB=AC=5，DE⊥AB，

∴∠B=∠C，∠BDE=90°，

∵∠B=∠DEF，

∴∠B+∠BDE=∠DEF+∠FEC，

∴∠BDE=∠FEC=90°，

∵在△FCE和△EBD中，

∠B=∠C，∠BDE=∠FEC，

∴△FCE∽△EBD；

（2）作AG⊥BC，

∵AB=AC=5，BC=6，AG⊥BC，

∴BG=3，

∵S_△FCE=4S_△EBD，

∴，

∵△FCE∽△EBD，

∴，

∵在△BDE和△BGA中，

∠B=∠B，∠BDE=∠BGA，

∴△BDE∽△BGA，

∴，

设BD=x，CE=2x，

∴，

解得：x=，

∴BD=，，

∵△ECF∽△GCA，

∴，

∴不可能在线段AB上存在D点，使S_△FCE=4S_△EBD．

【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形面积的计算，根据题意画出图形利用数形结合是解答此题的关键．