Question

如图，已知△A₁B₁C₁的面积为1，连接△A₁B₁C₁三边中点得到第二个△A₂B₂C₂，再顺次连接△A₂B₂C₂三边中点得△A₃B₃C₃，照此下去可得第2009个三角形，则第2009个三角形的面积是

 

．

Answer 1

分析：由A₂，B₂，C₂分别是△A₁B₁C₁各边的中点，根据三角形中位线的性质和有三组对应边的比相等的两个三角形相似得到△A₂B₂C₂∽△A₁B₁C₁，所以S_△A2B2C2：S_△A1B1C1=C₂B₂²：C₁B₁²=1：2²，得到即S_△A2B2C2，=

1

4

，
同理可得S_△A3B3C3=

1

4

×

1

4

=（

1

4

）²，即可得到第2009个三角形的面积．

解答：解：∵A₂，B₂，C₂分别是△A₁B₁C₁各边的中点，
∴△A₂B₂C₂∽△A₁B₁C₁，
∴S_△A2B2C2：S_△A1B1C1=C₂B₂²：C₁B₁²=1：2²，
即S_△A2B2C2=

1

4

，
∴S_△A3B3C3=

1

4

×

1

4

=（

1

4

）²，
∴第2009个三角形的面积是（

1

4

）²⁰⁰⁸．
故答案为：（

1

4

）²⁰⁰⁸．

点评：本题考查了三角形相似的判定与性质：有三组对应边的比相等的两个三角形相似；相似三角形面积的比等于相似比的平方．