Question

如图，已知∠AOB=α，在射线OA、OB上分别取点OA₁=OB₁，连结A₁B₁，在B₁A₁、B₁B上分别取点A₂、B₂，使B₁B₂=B₁A₂，连结A₂B₂…按此规律上去，记∠A₂B₁B₂=θ₁，∠A₃B₂B₃=θ₂，…，∠A_n+1B_nB_n+1=θ_n，则θ₂₀₁₃-θ₂₀₁₂的值为（　　）

• A．

  180°-α

  22012

• B．

  180°+α

  22012

• C．

  180°-α

  22013

• D．

  180°+α

  22013

Answer 1

分析：根据等腰三角形两底角相等用α表示出∠A₁B₁O，再根据平角等于180°列式用α表示出θ₁，再用θ₁表示出θ₂，并求出θ₂-θ₁，依此类推求出θ₃-θ₂，…，θ₂₀₁₃-θ₂₀₁₂，即可得解．

解答：解：∵OA₁=OB₁，∠AOB=α，
∴∠A₁B₁O=

1

2

（180°-α），
∴

1

2

（180°-α）+θ₁=180，
整理得，θ₁=

180°+α

2

，
∵B₁B₂=B₁A₂，∠A₂B₁B₂=θ₁，
∴∠A₂B₂B₁=

1

2

（180°-θ₁），
∴

1

2

（180°-θ₁）+θ₂=180°，
整理得，θ₂=

180°+θ1

2

=

3×180°+α

4

，
∴θ₂-θ₁=

3×180°+α

4

-

180°+α

2

=

180°-α

4

=

180°-α

22

，
同理可求θ₃=

180°+θ2

2

=

7×180°+α

8

，
∴θ₃-θ₂=

7×180°+α

8

-

3×180°+α

4

=

180°-α

8

=

180°-α

23

，
…，
依此类推，θ₂₀₁₃-θ₂₀₁₂=

180°-α

22013

．
故选C．

点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求出相邻的两个角的差，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键．