Question

12．已知抛物线y=x²-（m²+4）x-2m²-12
（1）证明：无论m取何实数，抛物线与x轴恒有两个交点，且一个交点是（-2，0）；
（2）m为何值时，两交点之间的距离为12；
（3）m为何值时，两交点间的距离最小．

Answer 1

分析 （1）令y=0，得到一个关于x的方程，利用判别式可判定结果；把（-2，0）代入可得出结论；
（2）令y=0，可求得方程的两个根，可表示出两交点的距离，令其为12可求得m；
（3）同（2）可表示出两交点间的距离，利用函数的增减性可求得m的值．

解答 （1）证明：在y=x²-（m²+4）x-2m²-12中，令y=0可得x²-（m²+4）x-2m²-12=0，
∵△=（m²+4）²+4（2m²+12）=m⁴+64＞0，
∴方程x²-（m²+4）x-2m²-12=0有两个不相等的实数根，
∴无论m取何实数，抛物线与x轴恒有两个交点，
当x=-2时，代入可得y=4+2（m²+4）-2m²-12=0，
∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（-2，0）；
（2）解：令y=0可得x²-（m²+4）x-2m²-12=0，可解得x=-2或x=m²+6，
设与x轴的两个交点分别为A、B，
则AB=|m²+6-（-2）|=m²+8，
当AB=12时，则m²+8=12，解得m=±2，
即当m为±2时，抛物线与x轴的两交点间的距离为12；
（3）解：由（2）可知两交点间的距离为AB=m²+8，
为开口向上，对称轴为y轴的抛物线，
∴当m=0时，AB有最小值，
即当m=0时，抛物线与x轴两交点间的距离最小．

点评 本题主要考查二次函数与方程的关系，掌握二次函数与x轴的交点横坐标是对应一元二次方程的根是解题的关键，注意函数增减性的应用．