Question

已知：如图，BD是半圆O的直径，A是BD延长线上的一点，BC⊥AE，交AE的延长线于点C，交半圆O于点E，且E为的中点．
（1）求证：AC是半圆O的切线；
（2）若AD=6，AE=6，求BC的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）要证AC是⊙O的切线，只要连接OE，再证DE⊥AC即可．
（2）根据勾股定理和相似三角形的性质即可求出BC的长．
解答：（1）证明：连接OE．
∵E为的中点，
∴=．
∴∠OBE=∠CBE
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE
∴∠OEB=∠CBE
∴OE∥BC
∵BC⊥AC，∴∠C=90°
∴∠AEO=∠C=90°，即OE⊥AC
又∵OE为半圆O的半径，
∴AC是半圆O的切线．（2分）

（2）解：设半圆O的半径为x
∵OE⊥AC，
∴（x+6）²-（6）²=x²
∴x=3（3分）
∴AB=AD+OD+OB=12
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC（4分）
∴=
即=
∴BC=4．（5分）
点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了勾股定理和相似三角形的性质．