题目内容

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于A（-1，0）、B（5，0）、C（0，4）三点，顶点为点D．
（1）求二次函数的解析式，并求出顶点坐标；
（2）x轴上方的抛物线是否存在异于B、C的点P，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，使直线BC平分△PMB的面积？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点Q，使AQ等于点B到直线AQ的距离？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（-1，0），B（5，0），C（0，4）三点，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+4，
∴y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+4=- $\text{[math]}$ （x-2）²+ $\text{[math]}$ ，
∴点D的坐标为（2， $\text{[math]}$ ）．
（2）设直线为BC为y=kx+b，则
$\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
则y=- $\text{[math]}$ x+4．
设点P的坐标为（x，- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+4），
∵BC平分△PMB的面积，
∴PG=GM，
∴- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+4-（- $\text{[math]}$ x+4）=- $\text{[math]}$ x+4，
∴x²-6x+5=0，
解得x₁=1，x₂=5（不合题意，舍），
∴点P的坐标为（1， $\text{[math]}$ ）．
（3）∵A点坐标为（-1，0），B点坐标为（5，0），
∴函数对称轴坐标为x=2，
设Q点坐标为（2，m），
连接AQ、BQ，作BN⊥AQ，垂足为N．
设AQ解析式为y=kx+b，
将A（-1，0），Q（2，m）分别代入解析式得，
$\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
函数解析式为y= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，
整理得mx-3y+m=0，
根据两点间距离公式得BN= $\text{[math]}$ ，
则在△ABQ中， $\text{[math]}$ AB•QE= $\text{[math]}$ AQ•BN，
$\text{[math]}$ ×5×m= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ，
整理得，
m²-6m+9=0，m²+6m+9=0，
解得m=3或m=-3．
故Q点坐标为（2，3）或（2，-3）．
分析：（1）根据待定系数法，将A（-1，0）、B（5，0）、C（0，4）分别代入解析式，组成三元一次方程组，解答即可；
（2）设直线为BC为y=kx+b，利用待定系数法求出其解析式，设点P的坐标为（x，- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+4），根据BC平分△PMB的面积，得到PG=GM，进而得到方程x²-6x+5=0，求出x的值即为P点横坐标，代入解析式即可求出P点纵坐标，从而求出P点坐标；
（3）连接AQ、BQ，作BN⊥AQ，垂足为N，设出Q点坐标，利用勾股定理表示出AQ的长，求出AQ的函数表达式，根据点到直线的距离公式，求出BN的表达式，利用△ABQ的面积的不同求法，建立等式，求出m的值，可得Q点的坐标．
点评：本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求一次函数、二次函数解析式、点到直线的距离公式、勾股定理、三角形面积求法等知识，要注意利用图形．