Question

如图，△ACB、△CDE为等腰直角三角形，∠CAB=∠CDE=90°，F为BE的中点，求证：AF⊥DF，AF=DF．

Answer 1

考点：直角三角形斜边上的中线,等腰三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AF=BF=

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AE，DF=BF=

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AE，再根据等边对等角可得∠ABF=∠BAF，∠DBF=∠BDF，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AFD=2∠ABC，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．

解答：证明：∵∠CAB=∠CDE=90°，F为BE的中点，
∴AF=BF=

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AE，DF=BF=

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AE，
∴AF=DF，
∴∠ABF=∠BAF，∠DBF=∠BDF，
由三角形的外角性质得，∠AFD=∠ABF+∠BAF+∠DBF+∠BDF=2∠ABC，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∴∠AFD=90°，
∴AF⊥DF，
综上所述，AF⊥DF，AF=DF．

点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．