Question

3．如图，在△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，将△AOB绕顶点O顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△COD．设AO的中点为E，CD中点为P，AO=a，连接EP，当θ=120°时，EP长度最大，最大值为1.5a．

Answer 1

分析 根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2OA=2a，再根据旋转的性质CD=AB=2a，连结OP，根据直角三角形斜边上的中线性质得OP=$\frac{1}{2}$CD，如图1，根据三角形三边的关系得PE＜OE+OP，点P、O、E共线时，PE=OE+OP，如图2，点Q为AB的中点，此时PE最大，易得PE的最大值为1.5a，然后求出∠AOP的度数即可得到旋转角的度数．

解答 解：∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴AB=2OA=2a，
∵△AOB绕顶点O顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜＜180°）得到△COD，
∴CD=AB=2a，
连结OP，
∵CD中点为P，
∴OP=$\frac{1}{2}$CD=a，
如图1，PE＜OE+OP，
点P、O、E共线时，如图2，Q为AB的中点，
∵PE=OE+OP，
∴PE的最大值为0.5a+a=1.5a．
∵QA=QO，
∴∠AOQ=∠A=60°，
∴∠POQ=120°
∴旋转角θ=120°．
故答案为120，1.5a．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．