Question

24、如图，已知矩形ABCD，延长CB至E，使CE=AC，F为AE的中点，求证：BF⊥DF．

Answer 1

分析：连接CF，由题意可得CF⊥AE，且DF=CF，进而可得角之间的关系，再通过角之间的转化进而得出结论．

解答：证明：连接CF，过点F作FG∥BC，

∵CE=AC，且F为AE的中点，
∴CF⊥AE，且DF=FC，FG垂直平分DC，
∴∠DFG=∠CFG，∠CFG+∠FCG=90°，
∵FG∥BC，
∴∠CFG=∠FCE，
又AC=CE，点F是AE的中点，
∴CF⊥AE，
∴∠ECF+∠E=90°，
∴∠FCG=∠E，
∴∠DFC=∠EFB，
又∠EFB+∠BFC=90°，
∴∠BFC+∠DFC=90°，
∴BF⊥DF．

点评：本题主要考查了矩形的性质以及直角三角形斜边中点的性质，应熟练掌握，并能解决一些简单的计算、证明问题．