题目内容

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，设两动点运动时间为t秒．
（1）求出当t=1秒时点P的坐标；
（2）当t为何值时，△MPA的面积为1.5；
（3）当△MPA为等腰三角形时，求出此时两动点运动的时间．
分析：（1）由A、B的坐标分别为（4，0），（4，3）可以求出OA=4，AB=3，BC=4，由四边形OABC为矩形可以得出tan∠ACB=
3
4
，t=1就可以求出NB的值，就可以求出CN和NP的值，从而求出P的坐标；
（2）根据三角形的面积公式可以得出S△MPA=
1
2
AM•EP建立方程求出其解即可；
（3）分三种情况讨论如图2，如图3，如图4，分别当PA=PM，AP=AM，MP=MA时，由等腰三角形的性质求出其值即可．
解答：解：（1）∵四边形OABC为矩形，
∴∠ABC=∠AOC=90°，OA=BC，AB=OC．
∵A、B的坐标分别为（4，0），（4，3），
∴OA=BC=4，AB=OC=3．
∴tan∠ACB=tan∠OAC=
PN
CN
=
3
4
．
当t=1时，BN=1，
∴CN=3，
∴
PN
3
=
3
4
，
∴PN=
9
4
，
∴P（3，
3
4
）；

（2）∵AM=4-t，PE=
3
4
t，
∴
1
2
（4-t）•
3
4
t=1.5，
∴t=2；

（3）延长NP交OA于点E，
∵NP⊥BC，
∴NP⊥OA．
如图2，当PM=PA时，
∴AE=ME=NP．
∵OM=NP，
∴OM=ME=AE，
∴OM=
1
3
OA，
∴OM=
4
3
，
∴t=
4
3
÷1=
4
3
秒；
如图3，当AP=AM时，
∴PE=
3
4
t，
在Rt△APE中，由勾股定理得：
PA=
5
4
t，
AM=4-t，
∴
5
4
t=4-t，
解得：t=
16
9
；
如图4，当PM=AM时，
PE=
3
4
t，OE=4-t，OM=t，AM=4-t
∴ME=2t-4，在Rt△PEM中，由勾股定理，得
PM2=（2t-4）2+（
3
4
t）2，
∴，（2t-4）2+（
3
4
t）2=（4-t）2，
解得：t1=0（舍去），t2=
128
57
，
综上所述：当t=
4
3
，
16
9
或
128
57
时，△MPA为等腰三角形．
点评：本题是一道几何动点问题，考查了矩形的性质的运用，三角函数值的运用，路程=速度×时间的关系的运用，勾股定理的运用，分类讨论思想的运用，解答时根据等腰三角形的性质建立方程求解是关键．
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（1）求点B的坐标；
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BD
AB
=
5
8
，求这时点P的坐标．
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5
29
5
29
．
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5
5
．
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k
x
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k
x
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（2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
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