Question

点P为线段AB的中点，分别过线段AB的端点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接PC、PD．
（1）当直线l过线段AB的中点P，如图1，猜想PC、PD的数量关系（直接写出你的猜想）；
（2）当直线l过线段AB上的任一点，如图2，猜想PC、PD的数量关系并加以证明；
（3）当直线l过线段AB的延长线上的任一点，按照题意画出图形，并判断△PCD的形状（不必证明）．

Answer 1

分析：（1）PC=PD，理由为：由AC与BD都与直线l垂直，利用垂直的定义得到一对直角相等，再由P为AB的中点，得到AP=BP，由对顶角相等得到一对角相等，利用AAS可得出三角形ACP与三角形BDP全等，由全等三角形的对应边相等可得出PC=PD；
（2）PC=PD，理由为：延长CP，交BD于点E，由AC与BD都与直线l垂直，得到AC与BD平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，由P为AB的中点，得到AP=BP，再由一对对顶角相等，利用ASA得到三角形ACP与三角形BEP全等，由全等三角形的对应边相等得到P为CE的中点，利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到CP=DP；
（3）作出相应的图形，如图所示，△PCD为等腰三角形，理由为：延长DP与CA的延长线交于M点，利用AAS得到三角形APM与三角形BPD全等，可得出直角三角形CMD中斜边MD的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出PD=PC，即△PCD为等腰三角形．

解答：解：（1）PC=PD，理由为：
∵AC⊥l，BD⊥l，
∴∠ACP=∠BDP=90°，
∵P为AB的中点，∴AP=BP，
在△ACP和△BDP中，

∠APC=∠BPD ∠ACP=∠BDP AP=BP

，
∴△ACP≌△BDP（AAS），
∴PC=PD；

（2）如图2所示，延长CP，交BD于点E，
∵AC⊥l，BD⊥l，
∴∠ACD=∠BDC=90°，
∴AC∥BD，
∴∠A=∠B，
又P为AB的中点，
∴AP=BP，
在△APC和△BPE中，

∠A=∠B AP=BP ∠APC=∠BPE

，
∴△APC≌△BPE（ASA），
∴CP=EP，
在Rt△CDE中，DP为斜边CE上的中线，
则DP=PC=

1

2

CE；

（3）如图，△PCD为等腰三角形，理由如下：
延长DP与CA的延长线交于M点，
∵AC⊥l，BD⊥l，
∴∠ACD=∠BDC=90°，
∴AC∥BD，
∴∠M=∠BDP，
又P为AB的中点，
∴AP=BP，
在△APM和△BPD中，

∠MPA=∠DPB ∠M=∠BDP AP=BP

，
∴△APM≌△BPD（AAS），
∴MP=DP，即P为MD的中点，
在Rt△CDM中，CP=PD=

1

2

DM，
则△PCD为等腰三角形．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，以及平行线的判定与性质，作出相应辅助线，构造全等三角形是解本题第2、3问的关键．