Question

在等边△ABC中，点E在线段AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．
（1）当点E为线段AB的中点时，试求

AE 4DB

的值；
（2）当点E不是线段AB的中点时，

AE 4DB

的值是否发生变化？为什么？

Answer 1

分析：（1）过点E作EF⊥BC于F，设等边三角形的边长为2a，根据等边三角形的性质求出AE，BE的长，再求出∠D=∠BED，根据等角对等边的性质可得BD=BE，然后代入求解，再根据算术平方根的定义求解即可；
（2）过点E作EF⊥BC于F，设BD=x，等边三角形的边长为2a，再根据等腰三角形三线合一的性质表示出CF，然后求出BF，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BE的长度，从而得到AE的长度，然后代入求解，再根据算术平方根的定义解答即可．

解答：解：（1）过点E作EF⊥BC于F，设等边三角形的边长为2a，
∵点E为线段AB的中点，
∴AE=BE=

1

2

×2a=a，∠BCE=30°，
∵ED=EC，
∴∠D=∠BCE=30°，
∴∠BED=∠ABC-∠D=60°-30°=30°，
∴BD=BE=a，

AE 4DB

=

a 4a

=

1

2

；

（2）不变．理由如下：
过点E作EF⊥BC于F，设BD=x，等边三角形的边长为2a，
∵ED=EC，
∴CF=

1

2

CD=

1

2

（2a+x），
∴BF=BC-CF=2a-

1

2

（2a+x）=a-

1

2

x，
在Rt△BEF中，BE=2BF=2a-x，
∴AE=AB-BE=2a-（2a-x）=x，
∴

AE 4DB

=

x 4x

=

1

2

．

点评：本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，算术平方根的定义，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并准确识图，作出辅助线是解题的关键．