Question

7．如图，点P是等边△ABC外一点，PA=3，PB=4，PC=5
（1）将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△P₁AC₁，画出旋转后的图形；
（2）在（1）的图形中，求∠APB的度数．

Answer 1

分析 （1）将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△P₁AC₁如图所示．
（2）只要证明△APP₁是等边三角形，由PB²+PP₁²=P₁B²，推出∠P₁PB=90°，即可解决问题．

解答 解：（1）将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△P₁AC₁，如图所示，

 
（2）∵△AP₁C₁是由△APC旋转所得，
∴△AP₁C₁≌△APC，
∴P₁C₁=PC=5，AP=AP₁=3，∠PAP₁=60°，
∴△APP₁是等边三角形，
∴PP₁=AP=3，∠APP₁=60°，
∵PB=4，P₁B=5，PP₁=3，
∴PB²+PP₁²=P₁B²，
∴∠P₁PB=90°
∴∠APB=∠BPP₁-∠APP₁=30°．

点评 本题考查等边三角形的性质、旋转变换、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转变换添加辅助线，构造全等三角形，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．