Question

（11·漳州）（满分14分）如图1，抛物线y＝mx²－11mx＋24m (m＜0) 与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且∠BAC＝90°．
（1）填空：OB＝_  ▲  ，OC＝_  ▲  ；
（2）连接OA，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；
（3）如图2，设垂直于x轴的直线l：x＝n与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．

Answer 1

解：（1）OB＝3，OC＝8                                                ………………4分
（2）连接OD，交OC于点E
∵四边形OACD是菱形
∴AD⊥OC，OE＝EC＝×8＝4
∴BE＝4－3＝1
又∵∠BAC＝90°，
∴△ACE∽△BAE
∴＝
∴AE²＝BE·CE＝1×4
∴AE＝2                                                     ………………6分
∴点A的坐标为 (4，2)                                        ………………7分
把点A的坐标 (4，2)代入抛物线y＝mx²－11mx＋24m，得m＝－
∴抛物线的解析式为y＝－x²＋x－12                          ………………9分
（3）∵直线x＝n与抛物线交于点M
∴点M的坐标为 (n，－n²＋n－12)
由（2）知，点D的坐标为（4，－2），
则C、D两点的坐标求直线CD的解析式为y＝x－4
∴点N的坐标为 (n，n－4)
∴MN＝（－n²＋n－12）－（n－4）＝－n²＋5n－8           ………………11分
∴S_{四边形AMCN}＝S_△AMN＋S_△CMN＝MN·CE＝（－n²＋5n－8）×4
＝－(n－5)²＋9                                     ………………13分
∴当n＝5时，S_{四边形AMCN}＝9                                    ………………14分解析:
略