Question

【题目】如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．

求证：（1）∠PAC=∠CAB；

（2）AC2=APAB．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

（1）如下图，连接OC，由已知易得OC⊥PC，结合AP⊥PC可得OC∥AP，从而可得∠PAC=∠ACO，结合∠ACO=∠CAO即可得到∠PAC=∠CAB；

（2）由已知易得∠APC=∠ACB=90°，结合（1）中所得∠PAC=∠CAB可得△PAC∽△CAB，

这样即可由相似三角形的性质证得：AC2=APAB．

（1）连结OC，如图．

∵直线PC切半圆O于点C，

∴OC⊥PC，

∵AP⊥PC，

∴OC∥AP，

∴∠PAC=∠OCA，

∵OC=OA，

∴∠CAB=∠OCA，

∴∠PAC=∠CAB；

（2）∵AB为半圆O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵AP⊥PC，

∴∠P=∠ACB，

又∵由（1）可知∠PAC=∠CAB，

∴△PAC∽△CAB，

∴，

∴AC2=APAB．