Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C、E在⊙O上，∠B=2∠ACE，在BA的延长线上有一点P，使得∠P=∠BAC，弦CE交AB于点F，连接AE．

（1）求证：PE是⊙O的切线；

（2）若AF=2，AE=EF=，求OA的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）OA=5

【解析】

（1）连接OE，根据圆周角定理得到∠AOE=∠B，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，求得∠OEP=90°，于是得到结论；

（2）根据等腰三角形的性质得到∠OAE=∠OEA，∠EAF=∠AFE，再根据相似三角形的性质即可得到结论．

解：（1）连接OE，

∴∠AOE=2∠ACE，

∵∠B=2∠ACE，

∴∠AOE=∠B，

∵∠P=∠BAC，

∴∠ACB=∠OEP，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠OEP=90°，

∴PE是⊙O的切线；

（2）∵OA=OE，

∴∠OAE=∠OEA，

∵AE=EF，

∴∠EAF=∠AFE，

∴∠OAE=∠OEA=∠EAF=∠AFE，

∴△AEF∽△AOE，

∴，

∵AF=2，AE=EF=，

∴OA=5．