题目内容
如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E．⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F，且AD=3，cos∠BCD=| 3 | 4 |
（1）求证：CD∥BF；
（2）求⊙O的半径；
（3）求弦CD的长．
分析：（1）由BF是⊙O的切线得到AB⊥BF，而AB⊥CD，由此即可证明CD∥BF；
（2）连接BD，由AB是直径得到∠ADB=90°，而∠BCD=∠BAD，cos∠BCD=
，所以cos∠BAD=
=
，然后利用三角函数即可求出⊙O的半径；
（3）由于cos∠DAE=
=
，而AD=3，由此求出AE，接着利用勾股定理可以求出ED，也就求出了CD．
（2）连接BD，由AB是直径得到∠ADB=90°，而∠BCD=∠BAD，cos∠BCD=
| 3 |
| 4 |
| AD |
| AB |
| 3 |
| 4 |
（3）由于cos∠DAE=
| AE |
| AD |
| 3 |
| 4 |
解答：
（1）证明：∵BF是⊙O的切线，
∴AB⊥BF，（1分）
∵AB⊥CD，
∴CD∥BF；（2分）
（2）解：连接BD，∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，（3分）
∵∠BCD=∠BAD，cos∠BCD=
，（4分）
∴cos∠BAD=
=
，
又∵AD=3，
∴AB=4，
∴⊙O的半径为2；（5分）
（3）解：∵∠BCD=∠DAE，
∴cos∠BCD=cos∠DAE=
=
，AD=3，
∴AE=ADcos∠DAE=3×
=
，（6分）
∴ED=
=
，（7分）
∴CD=2ED=
．（8分）
（1）证明：∵BF是⊙O的切线，∴AB⊥BF，（1分）
∵AB⊥CD，
∴CD∥BF；（2分）
（2）解：连接BD，∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，（3分）
∵∠BCD=∠BAD，cos∠BCD=
| 3 |
| 4 |
∴cos∠BAD=
| AD |
| AB |
| 3 |
| 4 |
又∵AD=3，
∴AB=4，
∴⊙O的半径为2；（5分）
（3）解：∵∠BCD=∠DAE，
∴cos∠BCD=cos∠DAE=
| AE |
| AD |
| 3 |
| 4 |
∴AE=ADcos∠DAE=3×
| 3 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
∴ED=
32-(
|
3
| ||
| 4 |
∴CD=2ED=
3
| ||
| 2 |
点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
练习册系列答案
相关题目
2、如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ）
如图，已知半圆的直径AB=4cm，点C、D是这个半圆的三等分点，则弦AC、AD和
22、如图，已知⊙O的直径为10，P为⊙O内一点，且OP=4，则过点P且长度小于6的弦共有
如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角∠CAB=27°，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点D，则∠ADC的度数为（ ）
（2010•邢台二模）如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为31°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则∠P等于（ ）