Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2cm，BC=4cm，AA₁=3cm．
（1）若要由顶点A沿长方体表面到顶点B₁，试在图中画出最短路线，并说明理由；
（2）若要由顶点A沿长方体表面到顶点C₁，试画图表示出最短路线，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理直接求出AB₁即可．
（2）将长方体展开，得到两种较短路径，找出两种路径中最短的即可．

解答：解：（1）如图1所示：∵AB=2cm，BC=4cm，AA₁=3cm，
∴BB₁=3cm，
由顶点A沿长方体表面到顶点B₁，图中最短路线为：
AB₁=

AB2+B B 2 1

=

22+32

=

13

（cm），

（2）如图2，∵AB=2cm，BC=4cm，AA₁=3cm，
∴CC₁=3cm，AC=6cm，
∴AC₁=

62+32

=3

5

（cm），
如图3，∵AB=2cm，BC=4cm，AA₁=3cm，
∴BC₁=7cm，
∴AC₁=

22+72

=

53

（cm），
故由顶点A沿长方体表面到顶点C₁，最短路线长为3

5

cm．

点评：此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，利用“两点只间线段最短”和勾股定理求出是解题关键，解答过程要用到分类讨论思想．