Question

7．如图，△ABC是等边三角形，AB=2，D是边BC的中点．点P从点A出发，沿AB-BD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动（点P不与点A、D重合）．同时点Q从点C出发，沿CA-AC以每秒1个单位长度的速度运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设点P的运动时间为t（秒），△PQD的面积为S．
（1）求线段CQ的长（用含t的代数式表示）．
（2）当△PQD是等边三角形时，求出t的值．
（3）求S与t的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）根据当0＜t≤2和2＜t＜3时两种情况进行解答即可；
（2）根据等边三角形的性质和AAS证明△BPD与△CDQ全等解答即可；
（3）根据当0＜t≤2和2＜t＜3时两种情况，利用三角函数和三角形面积公式解答即可．

解答 解：（1）当0＜t≤2时，CQ=t．                                   
当2＜t＜3时，CQ=4-t．                                 
（2）如图1所示；∵△PQD是等边三角形，
∴∠PDQ=60°，
∴∠PDB+∠CDQ=120°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠PDB+∠BPD=120°，
∴∠BPD=∠CDQ，
∵BD=CD，
在△BPD与△CDQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BPD=∠CDQ}&{\;}\\{∠B=∠C}&{\;}\\{BD=DC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BPD≌△CDQ（AAS），
∴BP=CQ，
∴2-t=t，
∴t=1，
（3）当0＜t≤2时，如图2所示，连结AD．
∵△ABC是等边三角形，D是边BC的中点，
∴∠ADB=90°．
∴$AD=AB•sin60°=\sqrt{3}$．
分别过点P、Q作PE⊥BC、QF⊥BC，垂足分别为点E、F．
在Rt△BPE中，∠BEP=90°，$PE=PB•sin60°=\frac{{\sqrt{3}}}{2}（2-t）$．
在Rt△QCF中，∠QFC=90°，$QF=CQ•sin60°=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t$．
过点Q作QG⊥AB于点G．在Rt△AGQ中，∠AGQ=90°，$QG=AQ•sin60°=\frac{{\sqrt{3}}}{2}（2-t）$．
∴S_△PQD=S_△ABC-S_△BPD-S_△QCD-S_△APQ．
∴${S_{△PQD}}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}-\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}（2-t）-\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}t-\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}（2-t）t$．
∴$S=\frac{{\sqrt{3}}}{4}{t^2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．                                    
当2＜t＜3时，如图3所示，过点Q作QH⊥BC于点H．           
在Rt△CQH中，∠CHQ=90°，$QH=CQ•sin60°=\frac{{\sqrt{3}}}{2}（4-t）$．
∴${S_{△PQD}}=\frac{1}{2}PD•QH=\frac{1}{2}×（3-t）\frac{{\sqrt{3}}}{2}（4-t）=\frac{{\sqrt{3}}}{4}{t^2}-\frac{{7\sqrt{3}}}{4}t+3\sqrt{3}$．
∴$S=\frac{{\sqrt{3}}}{4}{t^2}-\frac{{7\sqrt{3}}}{4}t+3\sqrt{3}$．

点评 本题是一道综合性较强的题目，考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、三角函数的性质等知识；是中考压轴题，难度较大．