Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且CA=CB．将线段AC绕点A逆时针旋转45°得线段AC′．
（1）求证：AC′是⊙O的切线；
（2）若AC′=4，求⊙O的半径的长．

Answer 1

（1）证明：∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°．
又∵CA=CB，
∴∠CAB=45°．
又∵∠C′AC=45°，
∴∠C′AO=90°，
即OA⊥C′A．
∴AC′是⊙O的切线．

（2）解：∵线段AC绕点A逆时针旋转45°得线段AC′，
∴CA=C′A=4．
在Rt△ACB中，∠CAB=45°，
∵，
∴．
∴OA=．
如有其他解（证）法，请酌情给分．
分析：（1）根据AB为直径，则∠C=90°，由CA=CB，则∠BAC=45°，再根据旋转角等于45°，得出∠BAC′=90度，从而得出AC′是⊙O的切线；
（2）根据勾股定理或三角函数可得出答案．
点评：本题考查了切线的判定和性质，以及勾股定理，是基础知识要熟练掌握．